MISSION LUNAIRE APOLLO 10

MISSION LUNAIRE APOLLO 10

Qui a oublié l'extraordinaire aventure humaine qu'a été la conquête de la lune par les missions américaines Apollo.

Nous ne donnerons pas un historique que toutes les encyclopédies présentent fort bien. Passons directement à une simulation numérique approchée, comme premier contact avec les mouvements képlériens.

Disons simplement, que la mission Apollo 10 était destinée à une descente au voisinage de la lune, sans posé sur le sol lunaire. Le but était d'effectuer notamment des repérages du site où la mission suivante se poserait, et de répéter les phases de séparation, descente et rendez-vous spatial.

Cet exercice est excellent pour établir un premier contact avec des trajectoires et des manœuvres simples, du moins dans les phases qui ont été choisies.

I EXPOSE DE LA MISSION :

Données :

Constante de gravitation de la lune : m_L = 4.9027989 10³km³s^-2

Constante de gravitation de la Terre : m_T = 39.860064 10⁴km³s^-2 = 39.86 10⁴km³s^-2

Rayon équatorial terrestre : R_T = 6378 km

Rayon équatorial lunaire : R_L = 1738 km

1 pied = 30.48 cm 1 Mile = 1609 m

Conditions de l'étude :

Nous supposerons la lune sur une orbite circulaire de rayon moyen 384000 km, dans le seul champ de gravitation de la terre.

Les trajectoires envisagées dans le problème appartiennent au plan de l'orbite lunaire ( rappelons qu'il est incliné de 5° environ sur l'écliptique ).

Dans tous les cas, l'injection sur l'orbite translunaire est réalisée par le dernier étage de la fusée Saturne V, à 222 km du sol terrestre ( altitude au moment de l'allumage moteur ).

On "oubliera" qu'au voisinage de la lune, on est pris en charge par la gravitation lunaire. Ceci veut dire que la lune est visée comme un point mathématique et qu'on "oublie" la sphère d'influence lunaire de 66000 km de rayon environ.

II PREMIERE ETUDE SIMPLE :

La lune est visée, pour être atteinte à l'apogée du transfert Terre - Lune.

1°) QUESTION 1 :

Calculer la vitesse d'injection Vo à 222 km du sol.

Calculer, en jours, la durée du voyage Terre-Lune.

2°) QUESTION 2 :

Calculer la vitesse à l'apogée.

Calculer la vitesse de la lune sur son orbite circulaire.

Donner la vitesse relative d'Apollo par rapport à la Lune

Faut-il arriver un "peu en avance" au rendez-vous, "un peu en retard" ?

Commentez le profil de vitesse fourni par la NASA.

II DEUXIEME ETUDE PLUS REALISTE :

Tout le monde a souvenir que le voyage a été plus rapide, moins de 5 jours. C'est exact, et c'est pour cela qu'on envisage maintenant un tir un peu plus rapide pour réaliser ce voyage exactement en Dt = 2.5 jours.

Vous retiendrez que les calculs de temps, mesurés à partir du périgée, reposent toujours sur l'anomalie excentrique j.

R désigne la distance Terre - Lune et r_p le rayon vecteur au périgée, ce sont deux valeurs fixées.

1°) Montrer que j est donnée par :

2°) a) Former alors l'équation F(a) - Dt = 0 qui donne a en fonction de la durée du voyage Dt. En déduire par un calcul numérique adéquat la valeur de a. Commentaires.

b) Calculer alors la nouvelle vitesse V_p1 d'injection, au périgée et constater qu'une très faible variation de la vitesse conduit à une variation énorme du grand axe et de la durée du voyage.

c) Calculer la vitesse relative d'arrivée V_R.

III MANOEUVRES CIRCUMLUNAIRES :

L'ensemble moteur ci-dessous rappelle l'architecture du véhicule principal qui a assuré la plupart des manœuvres des missions lunaires.

Sans entrer dans des détails que vous retrouverez dans toutes les encyclopédies de l'espace, donnons l'essentiel. Il se compose de 2 parties, pouvant à loisir se séparer ou s'assembler :

Le CSM ( Command Service Module ), assurant le freinage de capture, l'attente en orbite circumlunaire, et la réinjection en orbite de retour vers la Terre. Dans Apollo 13 c'est le CSM qui avait été mis hors d'usage par une explosion.

Le LM ( Lunar Module), séparé du CSM, il assure les manœuvres circumlunaires de descente, le freinage pour une approche ou un posé sur la Lune, le retour vers le CSM, pour un arrimage et un transfert de l'équipage vers le CSM. Il est ensuite détaché du CSM et envoyé s'écraser sur la Lune, le choc servant à des études sismiques de la géologie de la Lune.

NB : Nous n'étudions pas la capture par la Lune et les manœuvres au cours de cette capture, mais simplement les évolutions autour de la Lune.

LA MISSION APOLLO 10 S'EST SIMPLEMENT RAPPROCHEE A 15 KM DU SOL LUNAIRE. Ce sont les missions suivantes qui ont déposé des hommes sur la Lune et notamment Neil Amstrong.

Description des manœuvres :

A : point d'insertion, après freinage, sur une orbite circulaire C1 à 110 km du sol lunaire, t = 0, pour fixer les idées. De A à B CSM+LM soudés. LE VOL ENTRE A ET B DURE 25 mn

B : Séparation du CSM et du LM, vol en parallèle jusqu'en C. B est à la verticale de la zone lunaire de futur "atterrissage".

C : Diamétralement opposé à B. Le CSM continue sa route sur C1 et le LM délivre en rétrofusée un incrément de vitesse DV1, pour s'inscrire sur une orbite elliptique C2 ( Apogée 110 km sol, périgée 15 km sol)

D : Au périgée de C2, grâce à un incrément DV2, passage sur C3 elliptique(15-360). Premier survol rapproché, du site en D, à la lumière du Soleil, du côté de la Terre.

D : Après un tour sur C3, deuxième survol rapproché du site en D, avec un éclairement différent du Soleil. Manœuvre en rétrofusée DV3, pour passer sur une orbite de remontéeC4 elliptique(15-80).

E : Apogée de C4, manœuvre de circularisation, grâce à DV4.

F : Une navigation avec en visibilité avant le CSM comme cible, permet de déclencher la manoeuvre automatique de rendez-vous du LM et du CSM,.

G : Rendez-vous réalisé et arrimage, transfert des hommes dans le CSM, fermeture du sas, séparation du LM, qui freiné par son moteur, va s'écraser sur la Lune.

La suite n'est pas prévue dans cet exercice, elle consiste en un nouvel allumage du CSM, permettant l'évasion de l'attraction lunaire et le retour vers la Terre

1°) Calculer l'heure en E.

2°) Calculer les incréments de vitesse DV1, DV2, DV3, DV4.

3°) Quelle raison a poussé les américains à utiliser l'orbite C3 fortement excentrique?

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DOCUMENTS APOLLO 11 :

1 : Le 16 juillet 1969, 14h32 heure de Paris, Saturne V décolle de Cap Kennedy avec trois astronautes à son bord.

2 : Largage du 1^er étage et allumage du 2^ème.

3 : Largage de la tour de sauvetage et d'un bouclier thermique.

4 : Largage du 2^nd étage de S.V, 1^er allumage du 3^ème.

5 : 11 minutes et 50 secondes après le lancement, placement du 3^ème étage et du véhicule Apollo sur une orbite d'attente circulaire basse pour augmenter sa vitesse.

6 : 2^ème allumage du 3^ème étage, qui arrache Apollo à l'attraction terrestre et le place sur une trajectoire lunaire.

7, 8, 9, 10 : Le module de commande et le module de service (CSM) sortent du 3^ème étage et s'amarrent au LEM. L'ensemble CSM-LEM se sépare du 3^ème étage, qui s'éloigne de la Terre à 3200 Km/h tandis qu'Apollo se dirige vers la Lune à 35 000 Km/h.

11, 12, 13 : Corrections de la trajectoire.

14 : 4 jours après le décollage, mise sur une orbite lunaire, d'abord elliptique, puis circulaire.

15 : L'orbite lunaire est progressivement abaissée. Amstrong et Aldrin prennent place dans le LEM tandis que Collins reste dans le module de commande d'Apollo, toujours stationné en orbite autour de la Lune.

16, 17, 18 : Le LEM (" Eagle ") se sépare du CSM et descend vers le sol lunaire.

19 : Le LEM alunit à la vitesse de 9km/h obtenue grâce à ses rétrofusées, avec un retard de 40 secondes sur l'horaire prévu et à 6.4 Km de l'endroit visé, après 102 h 46 min de voyage.

Entre autres missions, les deux astronautes découvrent une plaque portant l'inscription : " Ici, des hommes de la planète Terre ont posé pour la première fois le pied sur la Lune [...]. Nous sommes venus en paix, au nom de toute l'humanité ".

SOLUTION APOLLO 10

1°) QUESTION 1 :

Traduisons la conservation de l'énergie sur l'orbite elliptique de transfert de la terre vers la lune. Cette énergie est donnée par le grand axe. Une deuxième expression en fonction de la vitesse de tir donne Vo.

La durée du voyage est tout simplement une demi période de l'orbite de transfert, soit :

2°) QUESTION 2 :

Calculer la vitesse à l'apogée.: La loi des aires indique avec des notations évidentes V_pr_p= V_ar_a, ce qui donne Va = 187.292 m/s.

Calculer la vitesse de la lune sur son orbite.:

Sur orbite circulaire :

Donner la vitesse relative :

Comme les deux vitesses sont colinéaires, la vitesse relative de la capsule lunaire par rapport à la lune, mesurée sur l'unitaire de la vitesse Lune, vaut V_R = 831.5 m/s.

Faut-il arriver un "peu en avance" au rendez-vous, "un peu en retard" ?

La réponse est évidente, la capsule doit se présenter en avant de la Lune, ce qui vu de la lune donnera l'impression d'un retour en arrière.

Ceci explique aussi l'allure classique des trajectoires des missions Apollo, l'ensemble aller retour ayant une forme de 8.

II DEUXIEME ETUDE PLUS REALISTE :

1°) Calcul de j est : la simple application des formules classiques de position donne :

2°) a) Calcul de a : L'élimination de j entre les 2 relations suivantes donne l'équation vérifiée par a :

La résolution donne a = 427850 km, soit plus du double de la valeur du premier tir.

b) Vitesse de tir : L'équation de l'énergie fournit donc :

COMMENTAIRES :

Soit simplement 51 m/s de plus qui ont permis de réduire de moitié la durée du voyage.

En fait l'énergie positive sur le transfert Terre-Lune est très voisine de 0. Une faible augmentation de la vitesse d'injection permettrait de dépasser la vitesse de libération et de partir en transfert hyperbolique. C'est cette singularité dans l'évolution de la trajectoire qui explique l'influence surprenante d'une petite variation de vitesse.

c) Calculer la vitesse relative d'arrivée V_R.:

L'équation de l'énergie sur la nouvelle orbite donne la vitesse d'Apollo : V1 = 1069.769 m/s

La vitesse de la Lune reste V_lune= 1018.833 m/s

La loi des aires nous donne la pente g de la vitesse sur l'horizontale, représentée par la vitesse de la Lune.

NB : On notera que la contrepartie au gain de temps et une vitesse relative d'arrivée plus grande. Le freinage nécessaire pour une capture en sera augmenté. La masse de carburant à emporter est donc plus importante.

III MANOEUVRES CIRCUMLUNAIRES :

1° Heure en E :

C'est l'occasion de calculer des périodes de révolutions.

Calculons, pour la suite les demi grands axes et les périodes, a et T indicées comme les orbites.

a₁ = 1738+110 = 1848 km, T₁ = 7129 s presque 2 heures

a₂ = (2x1738+110+15)/2 = 1800.5 km, T₂ = 6856 s

a₃ = (2x1738+360+15)/2 = 1925.5 km, T₃ = 7582 s

a₄ = (2x1738+80+15)/2 = 1785.5 km, T₄ = 6770 s

Heure( E ) = 25'+(T₁+T₂+T₄)/2+T3 = 5 h 24 mn 20 s

2°) Calcul des incréments de vitesse :

Nous ne donnons l'explication qu'une seule fois. Il faut calculer la vitesse sur l'orbite C1, avant manœuvre, puis indépendamment sur C2 après manœuvre, et faire la différence vectorielle, qui dans le cas présent se réduit à à une différence scalaire.

Un calcul analogue donne DV2 = 51.3 m/s , DV3 + -58.1 m/s et pour finir DV4 = 15 m/s.

NB : ces résultats montre la grande facilité d'évolution autour de la Lune. Facilité qui tient essentiellement à une gravitation 6 fois moins forte que celle de la Terre au voisinage du sol.

3°) Raison de l'existence de C3 :

La mission de reconnaissance Apollo 10 ne devait pas s'éterniser autour de la Lune. Une contrainte était donc de minimiser le temps de la mission.

Or, à partir de l'orbite C2, le LM tourne "angulairement" plus vite que le CSM resté en orbite circulaire sur C1. Un rendez-vous spatial est impossible, sauf si naturellement on attend plusieurs dizaines de révolutions, pour que les positions s'inversent ( CSM devant le LM ).

Les américains ont choisi de faire "perdre du temps" au LM en l'envoyant faire un petit tour assez loin, pour qu'au retour en D les positions se soient inversées. Avec en prime, le bénéfice de survoler une deuxième fois le site sous un éclairement au sol différent, faisant ressortir les accidents du relief.

ALLURE DE LA TRAJECTOIRE REELLE :

Guiziou Robert sept 2005